LA SUPERFICIE DE KLEIN

 

Y otra de superficies, en este caso la superficie de Klein, que entre sus características más destacables es la de que es una superficie no orientable, es decir no tiene ni interior ni exterior, al igual que la banda o cinta de Möbius.

El nombre que le dio su creador era el de "Superficie de Klein", descrita por primera vez por Felix Klein, aunque se conoce más una de sus variantes, la "Botella de Klein".

Para su visualización os dejo dos instrucciones en  Mathematica, la primera define la función de la superficie en paramétricas y la segunda dibuja la superficie.

surf[u_, v_] := {(3 + Cos[u/2] Sin[v] - Sin[u/2] Sin[2 v]) Cos[u], (3 + Cos[u/2] Sin[v] - Sin[u/2] Sin[2 v]) Sin[u],   Sin[u/2] Sin[v] + Cos[u/2] Sin[2 v]}

ParametricPlot3D[surf[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi},  PlotPoints -> {30, 30}]

El resultado es :

A que no es lo que esperabais, simplemente es porque hay que hablar de "Las superficies de Klein", de las que la más conocida es la "botella".

Las instrucciones para su representación, en Mathematica son estas :

surf[u_, v_] := {(-2/15) Cos[u] (3 Cos [v] - 30 Sin[u] + 90 Cos[u]^4 Sin[u] -60 Cos[u]^6 Sin[u] + 5 Cos[u] Cos[v] Sin[u]), (-1/15) Sin[ u] (3 Cos[v] - 3 Cos[u]^2 Cos[v] - 48 Cos[u]^4 Cos[v] + 48 Cos[u]^6 Cos[v] - 60 Sin[u] + 5 Cos[u] Cos[v] Sin[u] -5 Cos[u]^3 Cos[v] Sin[u] - 80 Cos[u]^5 Cos[v] Sin[u] + 80 Cos[u]^7 Cos[v] Sin[u]), (2/15) (3 + 5 Cos[u] Sin[u]) Sin[v]}

ParametricPlot3D[surf[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, 2 Pi},  PlotPoints -> {50, 50}]

Que en este caso nos da algo más conocido

 

 Para más información podeis consultar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle
http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html

y como no un video