El Cálculo Variacional I Introducción

En una serie de entradas comentaré una de las ramas de las Matemáticas Aplicadas que más me ha atraido desde que cursé la asignatura de Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Numérico en Granada (tiempo ha pasado)

Consideremos las siguientes preguntas:

• ¿Qué curva contenida en una superficie cualquiera conecta dos puntos con la menor longitud posible?
• ¿Tenemos dos puntos A y B como extremos contenidos en un plano vertical, queremos obtener la curva comprendida entre A y B, en la que una partícula de masa m recorra su longitud en el menor tiempo posible?
• ¿Buscar la mínima superficie de revolución que pase por dos puntos fijos?

Estos tres problemas pueden ser resueltos con el Cálculo de Variaciones.

El Cálculo de Variaciones tiene por objeto los problemas de extremos, es decir, máximos y mínimos, de naturaleza más complicada que los problemas de extremos ordinarios de los que se ocupa el cálculo diferencial. Estos últimos, como es sabido, permiten determinar valores de una o varias variables (geométricamente, coordenadas de ciertos puntos) para los cuales una función dada de estas variables alcanza el mayor o el menor valor.

Cuestiones geométricas como el camino más corto entre dos puntos, el problema de la braquistócrona (curva de descenso más rápido) o el problema isoperimétrico, resueltos en principio por Johan Bernouilli y Leonard Euler por métodos del cálculo diferencial ordinario, no pueden ser tratados de una manera rigurosa y completa más que por otras teorías más complejas.

Dido, primera reina de Cartago lista como ella sola, ya planteó en su momento un problema variacional, concretamente un problema isoperimetrico.

El desafio de Dido

El Cálculo de Variaciones consiste en la búsqueda de condiciones bajo las cuales tienen lugar los extremos de un objeto matemático, que puede ser una integral definida (el caso más frecuente), la solución de una ecuación diferencial, etc., dependiente de funciones incógnita, que se deben determinar.

Se hace, por tanto, jugar a las funciones el papel atribuido, en el cálculo diferencial, a las variables.

Otros problemas clásicos son: la superficie de revolución de área mínima, superficies minimales, sistemas de partículas en campos conservativos, osciladores armónicos, péndulos, trayectoria de propagación de la luz, cuerda y membrana vibrantes, flexión de vigas y placas, etc.